来源：数学往事|原文发布时间：2026年9月15日
近日，三峡大学三峡数学研究中心陈俊教授在Advances in Mathematics发表论文“Stability of vortex lines attached to airfoils in subsonic Euler flows”。论文于2024年12月投稿，并于2026年8月31日正式接收，9月11日在线发表。这篇文章主要研究二维可压缩亚声速 Euler 流绕翼型运动时附着涡线的存在、位置及稳定性。
论文考虑整个平面中的薄翼型亚声速绕流问题。与经典势流不同，这里允许流场具有涡量。在二维情形下，涡线可视为 Euler 方程中的接触间断线。作者考虑两条分别从翼型前缘和后缘向无穷远延伸的涡线。由于涡线的位置事先未知，它们构成问题中的自由边界；翼型与两条涡线将整个平面划分为上下两个流动区域，而两侧的 Euler 流需要同时满足沿涡线的接触间断条件。
这一问题的特殊之处还在于，二维稳态可压缩 Euler 方程具有双曲-椭圆结构。论文将此前半平面中后缘单条涡线的问题推广到整个平面，同时解释了前缘涡线出现的原因：由于 Euler 方程没有黏性，流动中不存在通过边界层产生涡量的机制，因此需要在无穷远处设置间断状态，由此形成连接前缘的涡线。
为处理未知的自由边界，作者采用Euler-Lagrange 坐标变换，将包括涡线在内的流线展平到固定坐标中，并将变换后的问题化为关于流动方向变量ω和压力p的椭圆型系统。随后构造相应的泛函方程，通过隐函数定理确定自由边界的位置。证明中的关键之一，是建立参考状态处相关 Fréchet 导数的可逆性。
这里还出现了一个不同于经典势流问题的现象：无穷远处可以预先给定压力、密度和流速，但流动方向不能事先指定。渐近流动角度τ*是通过隐函数定理确定的，并且依赖于翼型形状。
论文的技术分析还涉及翼型前缘、后缘附近的正则性以及无穷远处的渐近行为。作者利用障碍函数和带权 Hölder 空间估计控制这些区域的正则性。对于足够小的翼型扰动，论文证明存在相应的亚声速 Euler 流，两条涡线分别从翼型两个边缘点出发，具有C1,α正则性，并在无穷远处渐近于斜率为tanτ*的直线；同时给出了流场和涡线的相应估计。
进一步地，论文证明了涡线稳定性。对于两个足够接近的翼型，其对应的涡线以及渐近流动角度之差，可以由两个翼型轮廓之间的差异控制。具体而言，论文得到
其中
因此，翼型形状的小扰动会引起可控的涡线位置变化和远场方向变化。
论文还讨论了上下两侧远场状态完全相同的特殊情形。此时两侧流场可以跨越涡线连续拼接，得到整个平面上的C2,α亚声速解；在这种情况下不会产生涡量，问题退化为势流情形。
总体而言，论文在整个平面中建立了一个包含前缘、后缘两条自由涡线的亚声速 Euler 流模型，并证明了相应解的存在性、唯一性以及涡线的稳定性。作者指出，这是关于整个平面内含涡线翼型问题的首个结果。
作者简介：陈俊，2005年博士毕业于美国西北大学，现任三峡大学三峡数学研究中心教授。目前主要研究双曲守恒律和混合型偏微分方程的定性理论。
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